Método de Herón

Instituto Patria Nueva

“Método de Herón” Matemáticas III Marco Antonio Morales Contreras Marilú López Jiménez 3° A Tercer semestre de Preparatoria 30/08/2017 Villahermosa, Tabasco.

En el presente documento vamos a abordar el tema sobre el método de Herón el cual permite determinar el área de triángulos en el plano cartesiano, así como el uso de la fórmula de la distancia entre dos puntos para la determinación del perímetro.

En un primer tiempo hablare acerca del perímetro el cual es la suma de todos los lados de una figura y se presentará una explicación para saber calcular la distancia entre dos puntos. Para finalizar terminare exponiendo una breve biografía de Herón de Alejandría seguido de la explicación del método que lleva su nombre.

El perímetro de una figura es la suma de  sus lados, por tanto para determinar el perímetro de un polígono regular se suman las distancias entre cada par de puntos o vértices de la figura obteniendo así la dimensión de cada lado, siendo la suma de estas dimensiones el perímetro de la figura.

Para calcular el perímetro de un triángulo no es tan necesario graficarlo, ya que si nos dan tres vértices no colineales y calculamos la distancia entre estos puntos nos dará las longitudes de los lados del triángulo que tiene como vértices a dichos puntos. Sin embargo, para calcular el perímetro de un polígono de cuatro o más lados es necesario graficarlo, ya que si calculamos las distancias entre los vértices tomados de dos en dos no nos garantiza que estemos calculando las longitudes de sus lados, tal vez estemos calculando la longitud de alguna de las diagonales, es por ello que necesario realizar la gráfica y así asegurarnos que si estamos calculando las medidas de sus lados.

Entonces, para calcular el perímetro de un polígono, sabiendo cuales son las coordenadas de sus vértices, debemos encontrar cuánto miden sus lados y sumarlos, para ello dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dados sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d (P1, P2). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos:

 A continuación agrego dos vídeos para que puedas comprender mejor este tema y así no quede duda de cómo sacar la distancia entre dos puntos, de los cuales el primero será la demostración de esta fórmula acompañada de un ejemplo y el segundo será solo un ejemplo.

Herón (o Hero) de Alejandría vivió aproximadamente entre los siglos I y II d. C. en Alejandría (norte de Egipto). Fue ingeniero y matemático que destacó siendo considerado uno de los científicos e inventores más grandes de la antigüedad y su trabajo es representativo de la tradición científica helenista,  inventor de la primera máquina a vapor (conocida por el nombre de Eolípila). Demostró una actitud premoderna para la mecánica, descubriendo, aunque de forma arcaica, la ley de acción y reacción .Los textos que se le atribuyen tratan sobre todo de mecánica y matemáticas.

En geometría,  la fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados.; si se desconoce la medida de alguno de sus lados podemos hacer uso del punto anteriormente explicado el cual también nos servirá en este tema. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo y de la longitud de los lados.

Dado un triángulo de lados a, b y c  y  la fórmula de Herón es:

Donde p es el semiperímetro:

A partir de estas fórmulas ya podemos pasar a sustituir y realizar las operaciones necesarias para conocer el área de nuestro triángulo, a continuación dejo un vídeo con una explicación más profunda sobre este método en el cual también se realiza un ejemplo.

En lo siguiente, expongo un ejemplo de cómo utilizar la fórmula de Herón en el plano cartesiano. Si se conocen las tres distancias del triángulo primero debemos sacar el perímetro de la figura para después obtener el semiperimetro seguido de la realización de las operaciones según la fórmula de Herón.

La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática. La demostración de Herón es del tipo geométrico usual  y aparece en uno de sus tratados, la  Métrica, que es encontrado en el año 1896; como dato extra: los traductores árabes dicen que esta fórmula ya la conocía Arquímedes.

Podemos concluir diciendo que de manera sencilla, con las fórmulas ya establecidas podemos conseguir el perímetro y área de un polígono, también existen otros métodos y teoremas en los que te puedes basar sin embargo considero que los anteriormente expuestos son unos de los más sencillos para obtener los resultados que se buscan.

Por último, anexo otra actividad realizada en la plataforma de Geogebra, la cual es muy útil pues trae diferentes herramientas que podemos utilizar.

Referencias:

• S/A. (S/F). “Herón de Alejandría”. 29/08/17, de Mates Fácil Sitio web: https://www.matesfacil.com/matematicos/Heron/Heron-de-Alejandria-formula-area-triangulo-metodo-aproximar-raiz-cuadrada-demostracion.html
• Aroca Gómez José María. (2013). “Herón”. 29/08/17, de Mimosa Sitio web: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/proteo/formulaheron.htm
• S/A. (2004). “FÓRMULA DE HERÓN PARA CALCULAR EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO”. 29/08/17, de Descartes Sitio web: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/formula_heron/formula_de_Heron.htm
• S/A. (S/F). "Calcular el perímetro de un triángulo y de un polígono". 29/08/17, de Vitual Sitio web: http://vitual.lat/calcular-el-perimetro-de-un-triangulo-y-de-un-poligono/
• S/A. (S/F). "Triángulos: Áreas". 29/08/17, de Mates Fácil Sitio web: https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/triangulos/area/area-triangulos-formula-ejemplos-formula-heron-semiperimetro-base-altura-problemas-demostracion.html
• Sánchez Molina Silvia. (2011). "CALCULO DEL ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON LA FÓRMULA DE HERÓN". 30/08/17, de Blogger Sitio web: http://cetis112samsgeometriaanaliticaunidad1.blogspot.mx/2011/08/calculo-del-area-de-un-triangulo-con-la.html